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LE PRINCIPALI SCOPERTE SCIENTIFICHE
Geometria non euclidea. Storia ed essenza della scoperta scientifica
Elenco / Le scoperte scientifiche più importanti Su definizione di Euclide le linee parallele sono linee rette che giacciono sullo stesso piano e non si incontrano mai, non importa quanto le estendiamo. Ma già i più antichi commentatori di Euclide, Posidonio (II secolo aC), Gemino (I secolo aC), Tolomeo (II secolo dC) - non ritenevano che il quinto postulato di Euclide avesse la stessa evidenza di altri postulati e assiomi di Euclide , e tentò di dedurla come conseguenza di altre disposizioni, o di sostituire la definizione di parallelismo data da Euclide con un'altra definizione. Nella seconda metà del XVII sec Leibniz critico anche delle principali disposizioni di Euclide. Come è noto, volle anche costruire un'analisi puramente geometrica che esprimesse direttamente le proprietà della posizione, così come l'algebra esprime la grandezza. Ma solo nella prima metà del XNUMX° secolo l'idea venne ad applicarsi alla questione delle rette parallele e ad attuare sistematicamente nella teoria delle rette parallele quel metodo di dimostrazione per contraddizione, tanto spesso usato dai matematici greci. Questa geniale idea è stata di Saccheri. Nell'opera, apparsa nell'anno della sua morte, "Euclide, liberato da ogni punto", Saccheri prende come punto di partenza un quadrilatero i cui due lati opposti, perpendicolari alla base, sono uguali tra loro. In un tale quadrilatero, gli angoli formati da lati uguali con il lato opposto alla base sono uguali, e la dimostrazione di questa proprietà del quadrilatero non dipende dal postulato di Euclide. Se sono rette, si dimostra il postulato di Euclide, poiché in questo caso la somma degli angoli di un triangolo è uguale a due angoli retti. Ma Saccheri (e questa è la sua originale idea geniale) fa anche altre due ipotesi, l'ipotesi dell'angolo acuto e l'ipotesi dell'angolo ottuso, deduce da queste ipotesi le conseguenze che ne derivano e cerca di provare l'impossibilità di queste conseguenze, cioè, l'ammissibilità di una sola ipotesi di angolo retto. Riesce facilmente a dimostrare che l'ipotesi dell'angolo ottuso non è valida, poiché porta a contraddizioni. Per trovare la stessa contraddizione nell'ipotesi dell'angolo acuto, deduce una serie di notevoli teoremi, che furono poi nuovamente dimostrati da Legendre. Tali, ad esempio, sono i teoremi secondo i quali se l'una o l'altra o una terza ipotesi vale per un quadrilatero, allora vale anche per qualsiasi altro. Tre anni dopo la sua comparsa, nel 1766, Lambert pone lo stesso problema di Saccheri. Invece di un quadrilatero con due angoli retti e due lati uguali, Lambert considera un quadrilatero con tre angoli retti e fa tre ipotesi sul quarto angolo. La sua esposizione presenta alcune particolarità rispetto a quella di Saccheri: evita di ricorrere ad argomenti basati sulla continuità. Dal fatto che nelle ipotesi di angolo ottuso e acuto non vi è somiglianza di figure, Lambert deduce la conclusione circa l'esistenza di una misura assoluta. Nel 1799, il brillante matematico Carlo Gauss percorse il percorso che Saccheri e Lambert avevano percorso prima di lui, lungo il percorso di una derivazione sistematica di tutte le conseguenze dell'ipotesi dell'angolo acuto. Ma le sue riflessioni portarono a dubbi sulla possibilità di provare l'assioma di Euclide, e nel 1816 il matematico era convinto che una tale dimostrazione fosse impossibile. L'opinione pubblica di Gauss sull'indimostrabilità dell'assioma di Euclide non ebbe alcuna influenza e fu persino sottoposta a rozzi attacchi. Questo fu uno dei motivi per cui decise di non pubblicare le sue ricerche e riflessioni sulla questione delle fondazioni, "per paura del grido dei Beoti" (lettera a Bessel del 27 gennaio 1829). Ma non interruppe la sua ricerca e con il massimo interesse e simpatia accolse quelle opere e quei pensieri che coincidevano con la sua ricerca e le sue vedute. Quanto lontano sia andato lungo questa strada è mostrato dalla sua lettera a Wolfgang Bolyai del 6 marzo 1832, in cui Gauss afferma che tra il 1797 e il 1802 trovò i risultati a cui arrivò Johann Bolyai. Ad esempio, una dimostrazione puramente geometrica del teorema che nella geometria non euclidea la differenza tra la somma degli angoli di un triangolo da 180 gradi è proporzionale all'area del triangolo. Wolfgang Bolyai, un compagno di scuola di Gauss, mostrò un grande interesse per la teoria delle rette parallele. Questo straordinario interesse, secondo la sua lettera al figlio nel 1820, gli avvelena tutte le gioie della vita, ne fa un martire del desiderio di liberare la geometria dalla macchia, "togliere la nuvola che oscura la bellezza della vergine-verità". Ma mentre gli sforzi di quasi tutta la vita di suo padre erano diretti alla dimostrazione del 5° postulato, e non riuscì a raggiungere l'obiettivo, il suo talentuoso figlio fu uno dei creatori della geometria non euclidea. Johann Bolyai nacque nel 1802 a Klausenburg. Già nel 1807 il padre scriveva con gioia e orgoglio a Gauss delle straordinarie capacità matematiche del ragazzo, che all'età di tredici anni aveva già studiato planimetria, stereometria, trigonometria, sezioni coniche, e già a 14 anni stava risolvendo problemi di calcolo differenziale e integrale con facilità. Wolfgang non mandò suo figlio a studiare a Gottinga con il "colosso della matematica" e nel 1818 Johann entrò all'Accademia di ingegneria di Vienna, dove molta attenzione fu prestata alla matematica superiore. Nel 1823 completò il suo corso all'accademia e, come ingegnere militare, fu inviato alla fortezza di Temetvar. È del tutto naturale che Johann, dotato di straordinarie capacità matematiche, quasi da ragazzo, abbia deciso di cimentarsi nella risoluzione del problema per il quale suo padre era tormentato, ma di cui il padre gli disse che chi lo risolveva era degno di un diamante la dimensione del globo. Nel 1820, Johann informa il padre che ha già trovato un modo per dimostrare l'assioma, e poi il padre gli scrive un'accesa lettera avvertendolo di non impegnarsi nella teoria delle rette parallele. In una notte d'inverno del 1823, scoprì quella relazione fondamentale tra la lunghezza di una perpendicolare caduta da un punto a una linea retta e l'angolo che l'asintoto (linea parallela) forma con questa perpendicolare Lobachevskij), che è la chiave della trigonometria non euclidea. Entusiasta della sua scoperta, che gli sembrava aprisse la strada alla dimostrazione dell'Assioma XI, scrive il 3 novembre da Temetvar al padre: "Ho creato dal nulla un mondo nuovo, diverso. Tutto quello che ho trasmesso finora è solo un castello di carte in confronto alla torre che ora viene eretta". Nel 1829 Wolfgang completò un ampio saggio di matematica, al quale lavorò per circa vent'anni. In appendice a questo libro è stata pubblicata anche l'opera immortale di Johann Boliai. Naturalmente, Boliai non sospettava che allo stesso tempo nel lontano Kazan Lobachevsky stesse pubblicando la sua prima opera "Sui principi della geometria" (1829). Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856) nacque nel distretto di Makaryevsky nella provincia di Nizhny Novgorod. Suo padre occupava il posto di architetto distrettuale e faceva parte del numero di piccoli funzionari che ricevevano un misero contenuto. La povertà che lo circondava nei primi giorni della sua vita si trasformò in povertà quando nel 1797 suo padre morì e la madre venticinquenne rimase sola con i figli senza alcun mezzo. Nel 1802, portò tre figli a Kazan e li assegnò al Kazan Gymnasium, dove furono rapidamente notate le fenomenali abilità del suo secondo figlio. Quando nel 1804 la classe superiore del ginnasio di Kazan fu trasformata in un'università, Lobachevsky fu incluso nel numero degli studenti del dipartimento di scienze naturali. Il giovane studiò brillantemente. Lobachevsky ha ricevuto un'istruzione eccellente. Le lezioni di astronomia sono state lette dal professor Litroff. Ha ascoltato le lezioni di matematica del professor Bartels, allievo di un eminente scienziato come Carl Friedrich Gauss. Già nel 1811 Lobachevsky ricevette un master e fu lasciato all'università per prepararsi a una cattedra. Nel 1814 Lobachevsky ricevette il titolo di associato di matematica pura e nel 1816 fu nominato professore. Dal 1819 Lobachevsky insegnò astronomia. L'attività amministrativa dello scienziato iniziò nel 1820, quando fu eletto decano. Nonostante l'estenuante attività pratica che non lasciò un solo momento di riposo, Lobachevsky non interruppe mai i suoi studi scientifici e durante il suo rettorato pubblicò i suoi migliori lavori nelle Note scientifiche dell'Università di Kazan. Se Johann Bolyai iniziò a studiare la teoria delle rette parallele sotto l'influenza di suo padre, Lobachevsky potrebbe iniziare a studiarla solo perché l'interesse per questa teoria fu particolarmente ravvivato alla fine del XVIII e all'inizio del XIX secolo. Nel venticinquesimo anniversario che precede la comparsa della prima opera di Lobachevskij, non passò anno senza che apparisse una o più opere sulla teoria delle rette parallele. Si conoscono fino a 30 opere, stampate solo in tedesco e francese dal 1813 al 1827. Il lavoro di Legendre ha suscitato interesse anche tra i matematici russi per la teoria delle rette parallele. Il primo accademico russo che si è guadagnato un posto d'onore nella storia dell'insegnamento matematico russo con le sue opere pubblicate, CE. Guryev, nella sua opera più importante, An Essay on the Improvement of the Elements of Geometry, pubblicata nel 1798, prestò particolare attenzione alla teoria delle rette parallele e alle prove fornite da Legendre. Criticando queste prove, Guriev offre le sue. Basandosi sull'affermazione che, in determinate condizioni, rette che sembrano parallele a noi possono intersecarsi, Lobachevsky è giunto alla conclusione che è possibile creare una nuova geometria coerente. Poiché la sua esistenza era impossibile da immaginare nel mondo reale, lo scienziato la chiamò "geometria immaginaria". Ma lui, come I. Boliai, non è venuto subito a questa idea. Le lezioni del 1815-1817, il libro di testo di geometria del 1823 e l'"Exposition succincte des principes de la geometrie", che non ci è pervenuta, letti in una riunione del Dipartimento di Fisica e Matematica il 12 febbraio 1826 - questi sono le tre fasi del pensiero di Lobachevsky nel campo della teoria delle rette parallele. Nelle lezioni, dà tre modi diversi per giustificarlo; in un libro di testo del 1823 dichiara che tutte le dimostrazioni finora fornite non meritano di essere onorate in senso pieno di matematica e, infine, già tre anni dopo fornisce quel sistema per costruire la geometria su una posizione diversa dal postulato di Euclide , che ha immortalato il suo nome. "Esposizione" non ci è giunta. La prima opera a stampa di Lobachevsky, che lui chiama un estratto dell'Esposizione, fu pubblicata nel Kazan Vestnik nel 1829-1830. Questa data stabilisce la priorità della pubblicazione della scoperta di Lobachevsky rispetto a I. Boliai, poiché l'"Appendice" di quest'ultimo fu pubblicata nel 1831 e andò fuori stampa solo nel 1832. Come mostra il titolo "Esposizione", essa aveva per oggetto non solo la teoria esatta delle rette parallele, ma era anche dedicata alla questione dei principi della geometria. Sebbene sia I. Boliai che Lobachevsky siano stati eletti membri dell'Accademia delle scienze di Hannover per questa scoperta, è stata la geometria di Lobachevsky a ricevere i diritti di cittadinanza nell'Europa occidentale. Nel 1837 le opere di Lobachevsky furono pubblicate in francese. Nel 1840 pubblicò in tedesco la sua teoria dei parallelismi, che meritò il riconoscimento del grande Gauss. In Russia, Lobachevsky non ha visto la valutazione dei suoi lavori scientifici. Ovviamente, la ricerca di Lobachevsky era al di là della comprensione dei suoi contemporanei. Alcuni lo ignorarono, altri accolsero il suo lavoro con un ruvido ridicolo e persino rimproverando. Mentre il nostro altro matematico di grande talento Ostrogradskij godeva di una meritata fama, nessuno conosceva Lobachevsky; Lo stesso Ostrogradsky lo trattava in modo beffardo o ostile. Abbastanza correttamente, o meglio, completamente, un geometro ha chiamato la geometria stellare di Lobachevsky. Ci si può fare un'idea di distanze infinite se si ricorda che ci sono stelle da cui la luce raggiunge la Terra per migliaia di anni. Quindi, la geometria di Lobachevsky include la geometria di Euclide non come un caso particolare, ma come un caso speciale. In questo senso, la prima si può chiamare generalizzazione della geometria a noi nota. Ora sorge la domanda, Lobachevsky possiede l'invenzione della quarta dimensione? Affatto. La geometria a quattro e molte dimensioni è stata creata dal matematico tedesco, allievo di Gauss, Riemann. Lo studio delle proprietà degli spazi in una forma generale costituisce ora la geometria non euclidea, o la geometria di Lobachevsky. Lo spazio di Lobachevsky è uno spazio di tre dimensioni, che differisce dal nostro in quanto il postulato di Euclide non ha luogo in esso. Le proprietà di questo spazio vengono ora comprese assumendo una quarta dimensione. Ma questo passaggio appartiene già ai seguaci di Lobachevsky. Naturalmente, sorge la domanda, dov'è un tale spazio. La risposta è stata data dal più grande fisico del XX secolo Albert Einstein. Sulla base delle opere di Lobachevsky e dei postulati di Riemann, ha creato la teoria della relatività, che ha confermato la curvatura del nostro spazio. Secondo questa teoria, qualsiasi massa materiale curva lo spazio circostante. La teoria di Einstein è stata ripetutamente confermata da osservazioni astronomiche, a seguito delle quali è diventato chiaro che la geometria di Lobachevsky è una delle idee fondamentali sull'universo che ci circonda. Autore: Samin D.K.
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