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LE PRINCIPALI SCOPERTE SCIENTIFICHE
Teoria dei gruppi. Storia ed essenza della scoperta scientifica
Elenco / Le scoperte scientifiche più importanti I gruppi di permutazione delle radici sono stati trattati in precedenza da Lagrange e Gauss. Ma è indiscutibile il merito di colui che ha formulato le proprietà essenziali dei concetti e le ha applicate alla soluzione di problemi nuovi e difficili. Ciò è stato fatto dal matematico francese Galois per il concetto di gruppo. Solo dopo il suo lavoro divenne oggetto di studio per i matematici. Évariste Galois (1811–1832) nacque a Bourg-la-Reine. Nel 1823 Evariste fu mandato dai suoi genitori a studiare al Royal College di Parigi. Qui si interessò alla matematica e iniziò a studiare autonomamente le opere di Legendre, Euler, Lagrange, Gauss. Le idee di Lagrange prendono completamente il sopravvento su Galois. Gli sembra, come una volta ad Abele, di aver trovato una soluzione all'equazione di quinto grado. Fa un tentativo fallito di entrare al Politecnico, ma la conoscenza delle opere di Legendre e Lagrange non è stata sufficiente e Galois è tornato al college. Qui la felicità sorride per la prima volta: incontra un insegnante che ha saputo apprezzare il suo genio. Richard sapeva come elevarsi al di sopra dei programmi ufficiali, era consapevole del progresso delle scienze e cercava di ampliare gli orizzonti dei suoi studenti. I commenti di Richard su Evariste sono semplici: "Lavora solo nelle aree superiori della matematica". Infatti, già all'età di diciassette anni, Galois riceve i primi risultati scientifici. Nel 1829 fu pubblicata la sua nota "Proof of a Theorem on Periodic Continue Fractions". Allo stesso tempo, Galois ha presentato un'altra opera all'Accademia delle scienze di Parigi. Si è persa da Kosha. Galois cerca di rientrare al Politecnico, ma ancora una volta fallisce. A ciò si aggiunse presto un evento che sconvolse il giovane: braccato dagli oppositori politici, suo padre si suicidò. Le disgrazie capitate a Evariste lo colpirono inevitabilmente: divenne nervoso e irascibile. Nel 1829 Galois entrò nella Scuola Normale. Ha preparato i candidati per il titolo di insegnante. Qui Evarist completò uno studio sulla teoria delle equazioni algebriche e nel 1830 presentò il suo lavoro al concorso dell'Accademia delle Scienze di Parigi.Il suo destino era nelle mani del segretario permanente dell'Accademia - Fourier. Fourier inizia a leggere il manoscritto, ma presto muore. Il secondo manoscritto, come il primo, scompare. Nella vita di Galois, è giunto un momento pieno di eventi importanti. Si unì ai Repubblicani, si unì alla "Società degli amici del popolo" e si arruolò nell'artiglieria della Guardia Nazionale. Per essersi espresso contro la leadership, è stato espulso dalla Scuola Normale. Il 14 luglio 1831, in commemorazione del successivo anniversario dell'assalto alla Bastiglia, ebbe luogo una manifestazione dei repubblicani. La polizia ha arrestato molti manifestanti, tra cui Galois. Il processo di Galois ebbe luogo il 23 ottobre 1831. Fu condannato a 9 mesi di reclusione. Galois ha continuato la sua ricerca in carcere. La mattina del 30 maggio 1832, in un duello nella città di Gentilly, Galois fu ferito a morte da un proiettile allo stomaco. Morì un giorno dopo. Le opere matematiche di Galois, almeno quelle che sopravvivono, sono lunghe sessanta piccole pagine. Mai prima d'ora un'opera di un volume così piccolo ha portato una così vasta fama all'autore. Nel 1832 Galois, mentre è in carcere, elabora un programma che viene pubblicato solo settant'anni dopo la sua morte. Ma anche all'inizio del Novecento non suscitò un serio interesse e fu presto dimenticato. Solo i matematici moderni, che hanno continuato il lavoro di molte generazioni di scienziati, hanno finalmente realizzato il sogno di Galois. "Prego i miei giudici di leggere almeno queste poche pagine", iniziò Galois nel suo famoso libro di memorie. Tuttavia, le idee di Galois erano così profonde e complete che a quel tempo era davvero difficile per qualsiasi scienziato apprezzarle. "... Quindi, credo che le semplificazioni ottenute migliorando i calcoli (ovviamente si intendono semplificazioni fondamentali, non tecniche) non siano affatto illimitate. Verrà il momento in cui i matematici saranno in grado di prevedere le trasformazioni algebriche in modo così chiaro, che il dispendio di tempo e di carta per eseguirli con attenzione cesserà di dare i suoi frutti. Non affermo che l'analisi non possa ottenere nulla di nuovo al di là di una tale previsione, ma penso che senza di essa tutti i mezzi un giorno saranno vani. Subordinare i calcoli alla propria volontà, raggruppare operazioni matematiche, imparare a classificarli in base al grado di difficoltà e non in base a segni esterni: questi sono i compiti dei matematici del futuro per come li intendo io, questo è il percorso Voglio prendere. Nessuno confonda la veemenza che ho mostrato con il desiderio di alcuni matematici di evitare qualsiasi calcolo. Al posto delle formule algebriche, usano lunghe argomentazioni e, alla macchinosità delle trasformazioni matematiche, aggiungono la macchinosità di una descrizione verbale di queste trasformazioni, usando un linguaggio che non è adatto a svolgere tali compiti. Questi matematici sono indietro di cento anni. Non succede niente del genere qui. Qui sto facendo analisi di analisi. Allo stesso tempo, le trasformazioni più complesse oggi note (funzioni ellittiche) sono considerate solo come casi speciali, molto utili e perfino necessari, ma ancora non generali, per cui rifiutare ulteriori ricerche più ampie sarebbe un errore fatale. Verrà il momento in cui le trasformazioni di cui all'analisi superiore qui delineata saranno effettivamente realizzate e saranno classificate secondo il grado di difficoltà, e non secondo il tipo di funzioni qui sorte. Qui è necessario prestare attenzione alle parole "operazioni matematiche di gruppo". Galois intende senza dubbio con questo la teoria dei gruppi. In primo luogo, Galois non era interessato ai singoli problemi matematici, ma alle idee generali che determinano l'intera catena di considerazioni e guidano il corso logico del pensiero. Le sue prove si basano su una teoria profonda che consente di combinare tutti i risultati raggiunti fino a quel momento e determinare lo sviluppo della scienza per molto tempo a venire. Pochi decenni dopo la morte di Galois, il matematico tedesco David Hilbert definì questa teoria "l'istituzione di una certa struttura di concetti". Ma indipendentemente dal nome che gli viene dato, è ovvio che copre un'area di conoscenza molto ampia. "In matematica, come in qualsiasi altra scienza", scrisse Galois, "ci sono domande che devono essere affrontate proprio in questo momento. Questi sono i problemi urgenti che catturano le menti dei pensatori avanzati, indipendentemente dalla loro volontà e coscienza". Uno dei problemi su cui ha lavorato Évariste Galois è stata la soluzione di equazioni algebriche. Cosa succede se consideriamo solo equazioni con coefficienti numerici? Dopotutto, può succedere che, sebbene non esista una formula generale per risolvere tali equazioni, le radici di ogni singola equazione possano essere espresse in radicali. E se non lo fosse? Allora ci deve essere qualche segno che ti permetta di determinare se questa equazione è risolta in radicali o no? Qual è questo segno? La prima delle scoperte di Galois è stata che ha ridotto il grado di incertezza dei loro significati, cioè ha stabilito alcune delle "proprietà" di queste radici. La seconda scoperta è relativa al metodo utilizzato da Galois per ottenere questo risultato. Invece di studiare l'equazione stessa, Galois studiò il suo "gruppo", o, in senso figurato, la sua "famiglia". "Un gruppo", scrive A. Dalma, "è un insieme di oggetti che hanno determinate proprietà comuni. Prendiamo, ad esempio, i numeri reali come tali oggetti. La proprietà generale di un gruppo di numeri reali è che quando si moltiplicano due elementi di questo gruppo, otteniamo è anche un numero reale.Al posto dei numeri reali, i moti sul piano studiato in geometria possono apparire come "oggetti"; in questo caso, la proprietà del gruppo è che la somma di due moti qualsiasi di nuovo dà movimento. Passando da esempi semplici a esempi più complessi, possiamo come "oggetti" scegliere alcune operazioni sugli oggetti. In questo caso, la proprietà principale del gruppo sarà che anche la composizione di due operazioni qualsiasi è un'operazione. Fu questo il caso che studiò Galois, considerando l'equazione che doveva essere risolta, associò ad essa un certo gruppo di operazioni (purtroppo non siamo in grado di chiarire qui come ciò avvenga) e dimostrò che le proprietà dell'equazionerispecchiano le caratteristiche di questo gruppo. Poiché diverse equazioni possono avere lo stesso gruppo, è sufficiente considerare il gruppo ad esse corrispondente invece di queste equazioni. Questa scoperta segnò l'inizio della fase moderna nello sviluppo della matematica. Indipendentemente dagli "oggetti" di cui è composto il gruppo: numeri, movimenti o operazioni, possono essere tutti considerati come elementi astratti che non hanno caratteristiche specifiche. Per definire un gruppo, è solo necessario formulare le regole generali che devono essere seguite affinché un dato insieme di "oggetti" possa essere chiamato gruppo. Attualmente, i matematici chiamano tali regole assiomi di gruppo, la teoria dei gruppi consiste nell'elencare tutte le conseguenze logiche di questi assiomi. Allo stesso tempo, vengono costantemente scoperte sempre più nuove proprietà; dimostrandoli, il matematico approfondisce sempre di più la teoria. È essenziale che né gli oggetti stessi né le operazioni su di essi siano specificati in alcun modo. Se poi, nello studio di qualche problema particolare, si devono considerare degli oggetti matematici o fisici speciali che formano un gruppo, allora, sulla base della teoria generale, se ne possono prevedere le proprietà. La teoria dei gruppi, quindi, prevede risparmi tangibili in fondi; inoltre, apre nuove possibilità per l'applicazione della matematica nel lavoro di ricerca. L'introduzione del concetto di gruppo ha salvato i matematici dal gravoso dovere di considerare molte teorie diverse. Si è scoperto che era solo necessario individuare le "caratteristiche di base" di una teoria o di un'altra, e poiché, in effetti, sono tutte completamente simili, è sufficiente designarle con la stessa parola, e diventa subito chiaro che è inutile studiarli separatamente. Galois cerca di introdurre una nuova unità nell'apparato matematico invaso. La teoria dei gruppi è, prima di tutto, mettere le cose in ordine nel linguaggio matematico. La teoria dei gruppi, a partire dalla fine del XIX secolo, ha avuto un enorme impatto sullo sviluppo dell'analisi matematica, della geometria, della meccanica e, infine, della fisica. Successivamente è penetrato in altre aree della matematica: i gruppi di Lie sono apparsi nella teoria delle equazioni differenziali, i gruppi di Klein in geometria. Sorsero anche i gruppi galileiani di meccanica ei gruppi Lorenz nella teoria della relatività. Autore: Samin D.K.
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