Fondamenti di Algebra. Storia ed essenza della scoperta scientifica

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Si ritiene che gli elleni abbiano preso in prestito le prime informazioni sull'algebra dai babilonesi. Il filosofo neoplatonico greco Proclo Diadochus ha osservato nel suo saggio: "Secondo la maggior parte delle opinioni, la geometria è stata scoperta per la prima volta in Egitto, ha avuto origine nella misurazione delle aree". L'impatto delle tradizioni dell'algebra babilonese sulla matematica dell'antica Grecia e sulla scuola algebrica dei paesi islamici è enfatizzato nella Storia della matematica. La creazione delle basi della matematica nella forma a cui siamo abituati quando studiamo questa scienza a scuola cadde in mano ai Greci e risale al VI-V secolo a.C. La scienza antica ha raggiunto l'apice nelle opere Euclide, Archimede, Apollonia.

Una nuova ascesa della matematica antica nel III secolo d.C. è associata all'opera del grande matematico Diofanto. La sua opera principale è l'aritmetica. Sfortunatamente, solo sei libri su tredici libri sono sopravvissuti ai nostri giorni. Diofanto riuscì a far rivivere e sviluppare l'algebra numerica dei babilonesi, liberandola dalle costruzioni geometriche usate dai greci. Diofanto appare per la prima volta nel simbolismo delle lettere. Ha introdotto la notazione: sconosciuto, quadrato, cubo, quarta, quinta e sesta potenza, nonché le prime sei potenze negative. Nella Storia della matematica, questo è particolarmente notato: "Il libro di Diofanto testimonia la presenza del simbolismo letterale in lui. Il significato di questo passaggio è enorme. Solo su questa base si potrebbe creare il calcolo letterale, un apparato di formule sviluppato che consente noi per sostituire parte delle nostre operazioni mentali con trasformazioni meccaniche.Tuttavia, Diofanto , a quanto pare, non ha trovato seguaci in questa materia né nella sua epoca, né molto più tardi.Solo dalla fine del XV secolo iniziò lo sviluppo intensivo del simbolismo algebrico in Europa, e il completamento della creazione del calcolo delle lettere avvenne solo alla fine del XVI - inizio XVII secolo nei lavori Vieta и Cartesio".

"Diofante", scrive V.A. Nikiforovsky, "formula le regole delle operazioni algebriche con poteri dell'ignoto, corrispondenti alla nostra moltiplicazione e divisione delle potenze con esponenti naturali, e le regole dei segni di moltiplicazione. Ciò ha permesso di scrivere in modo compatto i polinomi, moltiplicarli, operare con le equazioni.Ha anche indicato le regole per il trasferimento dei termini negativi dell'equazione in un'altra parte di essa con segni opposti, il reciproco annientamento di termini identici in entrambe le parti dell'equazione.

A partire dal V secolo, il centro della cultura matematica si spostò gradualmente verso est, presso gli indù e gli arabi. La matematica indù era numerica. È segnato dal desiderio di raggiungere il rigore degli Elleni nelle prove e nella giustificazione della geometria, accontentandosi dei disegni. I principali risultati degli indù sono che hanno introdotto i numeri, che chiamiamo arabo, e il sistema posizionale di notazione dei numeri, hanno scoperto la dualità delle radici dell'equazione quadratica, la doppia valenza della radice quadrata e hanno introdotto negativo numeri. Il primo utilizzo del sistema posizionale decimale a noi noto risale al 595: è stata conservata una lastra su cui è scritto il numero di anni 346 in tale sistema.

I matematici più famosi dell'India furono Aryabhata (soprannominato "il primo", circa 500) e Brahmagupta (circa 625). Gli indù consideravano i numeri senza riguardo alla geometria. Hanno esteso le regole di azione sui numeri razionali ai numeri irrazionali, facendo calcoli diretti su di essi.

Un altro risultato degli indù nel miglioramento del simbolismo algebrico è che hanno introdotto la notazione per diverse incognite e i loro poteri. Come Diofanto, erano essenzialmente abbreviazioni di parole.

Dopo i matematici indiani, i matematici del Vicino e Medio Oriente cominciarono a usare la regola della posizione. Un ruolo speciale nella storia dello sviluppo dell'algebra nella prima metà del IX secolo fu svolto dal trattato di al-Khwarizmi in arabo chiamato "Il libro della restaurazione e dell'opposizione" (in arabo - "Kitab al-jabr wal-muqabala" ). In seguito, nella traduzione in latino, fu mantenuto il titolo arabo del trattato. Nel corso del tempo, "al-jabr" è stato ridotto ad "algebra".

Nel trattato, la soluzione delle equazioni non è più considerata in connessione con l'aritmetica, ma come una branca indipendente della matematica. Un matematico arabo mostra che le incognite, i loro quadrati e i termini liberi delle equazioni sono usati in algebra. Al-Khwarizmi chiamava l'ignoto "la radice". Quando risolve vari tipi di equazioni, al-Khwarizmi propone di trasferire i termini negativi delle equazioni da una parte all'altra, chiamandolo restauro. La sottrazione di termini uguali da entrambi i lati dell'equazione in questo caso la chiama opposizione (wal muqabala).

"Nel suo trattato al-Khwarizmi", osserva Alexander Svechnikov, "considera un numero sconosciuto come una quantità di tipo speciale, introduce il termine radice, chiama il membro libero dirham (come si chiamava allora l'unità monetaria). equazioni per tipo, spiega come applicare le regole di completamento e opposizione, formula regole per risolvere equazioni di vario tipo.

Nei manoscritti di al-Khwarizmi, tutte le espressioni matematiche e tutti i calcoli sono scritti a parole, motivo per cui l'algebra di quel tempo e dei tempi successivi era chiamata retorica, cioè verbale. Durante il periodo di lavoro sul trattato algebrico, al-Khwarizmi conosceva già l'algebra numerica di Babilonia e di altri paesi dell'est. Conosceva l'algebra geometrica dei Greci e le conquiste degli astronomi e matematici indiani.

Al-Khwarizmi ha individuato il materiale algebrico come una sezione speciale della matematica e lo ha liberato dall'interpretazione geometrica, sebbene in alcuni casi abbia utilizzato dimostrazioni geometriche. Il lavoro algebrico di Al-Khwarizmi divenne un modello studiato e imitato da molti matematici successivi. Successivi scritti algebrici e libri di testo nella loro natura iniziarono ad avvicinarsi a quelli moderni. Il trattato algebrico di al-Khwarizmi servì come l'inizio della creazione della scienza dell'algebra. Fu tra le prime opere di matematica tradotte in latino. A quel tempo in Europa tutti i lavori scientifici erano scritti e pubblicati in latino.

Quando si risolve un problema, l'importante è comprendere il contenuto del problema, la capacità di esprimerlo nel linguaggio dell'algebra. In poche parole, scrivi la condizione del problema usando simboli: segni matematici.

Diofanto, come già accennato, diede il concetto di equazione algebrica, scritta in simboli, ma molto lontana da quelle moderne. François Viet è stato il primo a designare con lettere non solo sconosciuti, ma anche quantità date. Così, è riuscito a introdurre nella scienza la grande idea della possibilità di eseguire trasformazioni algebriche sui simboli, cioè di introdurre il concetto di una formula matematica. In questo modo diede un contributo decisivo alla creazione dell'algebra letterale, che completò lo sviluppo della matematica rinascimentale e aprì la strada alla comparsa dei risultati di Fermat, Cartesio e Newton.

François Viet (1540-1603) nacque nel sud della Francia nella cittadina di Fantinay-le-Comte. Il padre di Vieta era un pubblico ministero. Secondo la tradizione, il figlio ha scelto la professione del padre ed è diventato avvocato dopo essersi laureato all'Università di Poitou. Nel 1560, il ventenne avvocato iniziò la sua carriera nella sua città natale, ma tre anni dopo si trasferì al servizio della nobile famiglia ugonotta de Partenay. Divenne il segretario del padrone di casa e l'insegnante di sua figlia, la dodicenne Catherine. Fu l'insegnamento a suscitare nel giovane avvocato l'interesse per la matematica.

Nel 1671 Viète entrò nel servizio civile, divenendo consigliere del Parlamento e poi consigliere del re Enrico III di Francia.

Nel 1580 Enrico III nominò Vieta all'importante incarico statale di racketmaster, che dava il diritto di controllare l'esecuzione degli ordini nel paese per conto del re e sospendere gli ordini dei grandi feudatari.

Mentre era in servizio pubblico, Viet rimase uno scienziato. Divenne famoso per aver saputo decifrare la corrispondenza intercettata del re di Spagna con i suoi rappresentanti nei Paesi Bassi, grazie alla quale il re di Francia era pienamente consapevole delle azioni dei suoi avversari.

Nel 1584, su insistenza dei Guise, Vieta fu destituito dall'incarico ed espulso da Parigi. È in questo periodo che cade l'apice del suo lavoro. Dopo aver ricevuto un tempo libero inaspettato, lo scienziato si è posto come obiettivo la creazione di una matematica completa che consenta di risolvere qualsiasi problema. Sviluppò la convinzione che "deve esserci una scienza generale, ancora sconosciuta, che abbraccia sia le argute invenzioni degli ultimi algebristi, sia la profonda ricerca geometrica degli antichi".

Vieta delineò il programma delle sue ricerche ed elencò i trattati, uniti da un'idea comune e scritti nel linguaggio matematico della nuova algebra alfabetica, nella celebre "Introduzione all'arte analitica" pubblicata nel 1591. L'enumerazione è andata nell'ordine in cui questi lavori dovevano essere pubblicati per formare un unico insieme: una nuova direzione nella scienza. Sfortunatamente, un singolo insieme non ha funzionato. I trattati furono pubblicati in un ordine del tutto casuale, e molti videro la luce solo dopo la morte di Vieta. Uno dei trattati non è stato trovato affatto. Tuttavia, l'idea principale dello scienziato ebbe un notevole successo: iniziò la trasformazione dell'algebra in un potente calcolo matematico. Il nome stesso "algebra" Vieta nei suoi scritti ha sostituito le parole "arte analitica". Scrisse in una lettera a de Partenay: "Tutti i matematici sapevano che sotto l'algebra e l'almukabala ... si nascondevano tesori incomparabili, ma non sapevano come trovarli. I problemi che consideravano i più difficili si risolvono abbastanza facilmente a dozzine con l'aiuto della nostra arte ... "

Viet ha definito la base del suo approccio la logistica delle specie. Seguendo l'esempio degli antichi, distinse chiaramente tra numeri, grandezze e relazioni, raccogliendoli in un certo sistema di "specie". Questo sistema includeva, ad esempio, variabili, le loro radici, quadrati, cubi, quadrati quadrati, ecc., nonché molti scalari, che corrispondevano a dimensioni reali: lunghezza, area o volume. Per queste specie, Viet ha dato simboli speciali, designandoli in lettere maiuscole dell'alfabeto latino. Le vocali sono state utilizzate per quantità sconosciute, le consonanti sono state utilizzate per variabili.

Viet ha mostrato che, operando con i simboli, si può ottenere un risultato applicabile a qualsiasi quantità rilevante, cioè risolvere il problema in forma generale. Questo segnò l'inizio di un cambiamento radicale nello sviluppo dell'algebra: il calcolo letterale divenne possibile.

Dimostrando la potenza del suo metodo, lo scienziato ha portato nelle sue opere una serie di formule che potrebbero essere utilizzate per risolvere problemi specifici. Dei segni di azione, ha usato "+" e "-", il segno radicale e la barra orizzontale per la divisione. L'opera era indicata dalla parola "in". Viet fu il primo ad utilizzare le parentesi, che però non avevano la forma di parentesi, ma di linee sopra un polinomio. Ma non usò molti dei segni presentati prima di lui. Quindi, un quadrato, un cubo, ecc., Denotati da parole o dalle prime lettere delle parole.

Il simbolismo di Vieta ha permesso sia di risolvere problemi specifici sia di trovare schemi generali, sostanziandoli pienamente. Così, l'algebra divenne una branca indipendente della matematica, indipendente dalla geometria. "Questa innovazione, e soprattutto l'uso di coefficienti letterali, ha segnato l'inizio di un cambiamento fondamentale nello sviluppo dell'algebra: solo ora il calcolo algebrico è diventato possibile come sistema di formule, come algoritmo operativo".

Il simbolismo di Vieta è stato successivamente seguito da Pierre de Fermat. Un ulteriore significativo miglioramento del simbolismo algebrico appartiene a Cartesio. René Descartes ha introdotto le lettere minuscole dell'alfabeto latino per denotare i coefficienti. Per designare gli sconosciuti, ha usato le ultime lettere dello stesso alfabeto. Questa innovazione è stata ampiamente adottata nei lavori dei matematici e, con lievi modifiche, è sopravvissuta fino ad oggi.

Autore: Samin D.K.

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L'attenzione condivisa sincronizza i cervelli 04.05.2017

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I ricercatori della New York University hanno sperimentato con un gruppo di studenti: durante il semestre, gli studenti sono andati in classe indossando un dispositivo portatile per la lettura delle onde cerebrali. Siamo così riusciti a raccogliere informazioni su come funziona il cervello in un gruppo sociale reale, non di laboratorio e in diverse condizioni: quando una persona è interessata ad ascoltare materiale, quando, al contrario, è noioso; inoltre, gli autori del lavoro erano interessati a come ciascuno dei partecipanti all'esperimento si relaziona con i propri compagni e con l'insegnante, e quanto generalmente a ciascuno di loro piace l'attività di gruppo.

Si è scoperto che il grado di sincronizzazione dell'attività cerebrale coincideva con quanto gli studenti fossero interessati alla materia e all'insegnante - in altre parole, se erano interessati al materiale e al modo in cui veniva presentato, i loro ritmi elettrici cerebrali diventavano simili. D'altra parte, la sincronizzazione dipendeva da quanto le persone si piacciono e da quanto è facile per loro comunicare tra loro. Cioè, in risposta a materiale interessante, i cervelli degli amici intimi coincidono più fortemente di quelli che sono indifferenti l'uno all'altro (sebbene possano anche essere interessati alla classe).

Una grande sincronizzazione tra amici arrivava solo se parlavano personalmente prima della lezione; inoltre, durante la lezione stessa, non era più necessario che si guardassero in faccia: i loro cervelli erano comunque sincronizzati. Tutto sembrava come se due persone si fossero sintonizzate su un'onda comune prima dell'evento, in modo che in seguito percepissero l'evento stesso allo stesso modo. Coloro per i quali era particolarmente importante lavorare in gruppo hanno mostrato una maggiore sincronizzazione con i loro compagni.

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