Calcolo dei filtri RC. Enciclopedia dell'elettronica radio e dell'ingegneria elettrica

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Consideriamo i circuiti selettivi in ​​frequenza o selettivi che hanno un effetto di filtraggio, ad es. i segnali con alcune frequenze trasmettono meglio, con altre - peggio. A volte questa proprietà dei circuiti è dannosa, ad esempio, negli amplificatori audio di alta qualità, dove si sforzano di ottenere la larghezza di banda più ampia possibile. E a volte è utile, ad esempio, nei ricevitori radio, quando è necessario isolare il segnale di uno solo, trasmettendo su una frequenza a te nota, da una massa di segnali provenienti da stazioni radio che operano a frequenze diverse.

I circuiti filtranti (filtri) devono necessariamente contenere elementi reattivi - capacità e/o induttanza, poiché la resistenza attiva dei resistori non dipende dalla frequenza (nel caso ideale). In realtà, ci sono sempre capacità e induttanze parassite (installazione, cavi, giunzioni p-n, ecc.), Quindi quasi tutti i circuiti risultano essere in un modo o nell'altro un filtro, ad es. i suoi parametri dipendono dalla frequenza. Per prima cosa, diamo un'occhiata alle catene RC più semplici.

Nella fig. La Figura 28a mostra un diagramma di un semplice filtro passa-basso (LPF), che lascia passare le basse frequenze e attenua le alte frequenze.

Il coefficiente di trasmissione è il rapporto K = Uout/Uin (più precisamente è il modulo, ovvero il valore assoluto del coefficiente di trasmissione). Calcoliamolo utilizzando le informazioni che già conosciamo sui circuiti a corrente alternata. La corrente nel circuito è:

e la tensione di uscita è uguale alla caduta di tensione attraverso il condensatore C:

Sostituendo la corrente, troviamo

Il coefficiente di trasmissione si è rivelato complesso. Ciò significa che la tensione di uscita del filtro è sfasata rispetto all'ingresso. Per enfatizzare la natura complessa di K, viene spesso indicato come K(jω). Troviamo il modulo (valore assoluto) e l'argomento (fase) K

Sia l'entità che la fase del guadagno dipendono dalla frequenza, o si dice che siano funzioni della frequenza. Un segno negativo dell'argomento indica che la fase del segnale di uscita è in ritardo rispetto alla fase del segnale di ingresso. Se tracciate i loro grafici, otterrete le caratteristiche di ampiezza-frequenza e fase-frequenza del filtro (AFC e PFC), mostrate in Fig. 28,6 e rispettivamente.

Il filtro funziona come segue. Alle frequenze più basse, la capacità del condensatore è elevata e il segnale viene trasmesso dall'ingresso all'uscita attraverso la resistenza R praticamente senza attenuazione. All'aumentare della frequenza, la capacità diminuisce e il circuito funge da partitore di tensione. Alla frequenza di taglio ωc la reattanza capacitiva è uguale a quella attiva e ωcRC = 1. Tuttavia il modulo K non è pari a 1/2, come sarebbe il caso delle resistenze attive, ma è 1/V2 = 0,7 , come si può vedere dal diagramma vettoriale della tensione (Fig. 28,d). Lo sfasamento introdotto dalla catena alla frequenza di taglio è di 45°: questo è il ritardo della fase del segnale di uscita rispetto alla fase di ingresso. All'aumentare ulteriormente della frequenza il modulo del coefficiente di trasmissione diminuisce proporzionalmente alla frequenza e lo sfasamento tende a -90°.

Spesso, per semplificare i calcoli, viene introdotta la notazione RC = τ. (costante di tempo della catena), ωRC = ω/ωс = x (frequenza generalizzata). Il coefficiente di trasmissione in queste notazioni è scritto in modo abbastanza semplice:

Si consiglia di tornare alle designazioni precedenti solo dopo aver completato tutti i calcoli.

Nella nostra analisi, abbiamo tacitamente assunto che il circuito sia alimentato da un oscillatore con resistenza interna molto bassa e che la sua uscita sia scarica. In realtà, la sorgente del segnale ha sempre una resistenza interna R1 e, se è attiva, deve solo essere aggiunta a R. Allo stesso modo, se il carico ha una capacità CH, deve solo essere aggiunta a C. Se il carico ha una resistenza attiva RH, allora il modulo K è già alle frequenze più basse, dove l'influenza della capacità può essere trascurata, sarà inferiore all'unità e sarà (calcoliamo semplicemente secondo la legge di Ohm) RH/(R + RH ). Anche la frequenza di taglio si sposterà più in alto e, come si può facilmente calcolare nel modo sopra descritto, non lo sarà più

dove R' è la resistenza ottenuta collegando R e Rn in parallelo.

Ecco un esempio di applicazione pratica delle informazioni presentate. L'amplificatore video TV deve trasmettere una banda di frequenza di 6 MHz e funziona su un carico capacitivo costituito dalla capacità di uscita del transistor Cm, dalla capacità di montaggio Cm e dalla capacità interelettrodica della griglia di controllo del cinescopio Ck (Fig. 29, a ). La loro somma può essere stimata con una sorta di capacimetro (ovviamente con la TV spenta!) o utilizzando dati di riferimento. Lascia che sia 25 pF: questa sarà la capacità del circuito RC in esame. La resistenza R della catena si ottiene collegando in parallelo la resistenza interna del transistor (generatore di segnale) e la resistenza di carico Rн. Il primo può essere trovato dalle caratteristiche del collettore del transistor, prendendo un piccolo incremento ΔUк vicino alla tensione di collettore operativa Uк e trovando il corrispondente incremento di corrente ΔIк

Solitamente la resistenza interna è molto maggiore della resistenza di carico, quindi possiamo considerare R = Rн.

Troviamo la resistenza di carico consentita in base alla risposta in frequenza che scende a 0,7 (di 3 dB) ad una frequenza di 6 MHz. La frequenza di taglio angolare sarà

(arrotondare). Poiché RC = 1 /ωñ,

Naturalmente, vorremmo scegliere una resistenza di carico maggiore, che aumenterà il guadagno e ridurrà la corrente consumata dal transistor, ma ciò non può essere fatto a causa del blocco delle frequenze superiori dello spettro video, che porterà ad una perdita della nitidezza dell'immagine.

Per divertimento, continuiamo il calcolo. Lascia che un segnale con un'ampiezza fino a 50 V venga applicato alla griglia del cinescopio, quindi la corrente del transistor dovrebbe essere 50 mA. Anche la resistenza di carico scenderà di 50 V, la tensione della fonte di alimentazione deve essere almeno di 100 V e la resistenza di carico rilascerà una potenza di 50 V - 50 mA = 2,5 W. La stessa potenza verrà dissipata dal transistor. La caratteristica del carico per questo caso è mostrata in Fig. 29, b insieme ai diagrammi di tensione e corrente (che in televisione, è bene notare, raramente sono sinusoidali). Ora dovrebbe essere chiaro il motivo per cui lo stadio di uscita dell'amplificatore video è realizzato con un potente transistor e un potente resistore è inserito nel carico, sebbene il cinescopio non consumi alcuna energia attraverso il circuito dell'elettrodo di controllo (griglia).

Per migliorare in qualche modo la situazione, sono stati inventati molti modi. Uno di questi consiste nel correggere la risposta in frequenza collegando in serie al carico una bobina con una piccola induttanza (Fig. 29, a), selezionata in modo tale da risuonare con la capacità totale C da qualche parte alla frequenza di taglio o leggermente superiore. Il circuito oscillatorio risultante con un fattore di qualità molto basso (non più di 1...1.5) contribuisce ad un aumento della risposta in frequenza vicino alla frequenza di taglio. Nella fig. 29, la linea continua mostra la risposta in frequenza dell'amplificatore prima della correzione, corrispondente alla risposta in frequenza di un semplice circuito RC, e la linea tratteggiata mostra la risposta in frequenza dopo aver acceso l'induttanza. In questo modo la larghezza di banda delle frequenze trasmesse viene ampliata di 1,5...2 volte oppure il guadagno e l'efficienza della cascata aumentano della stessa quantità.

Il descritto restringimento della larghezza di banda dall'alto avviene in ogni stadio dell'amplificatore, di cui bisogna tenere conto quando si progettano amplificatori multistadio. Ad esempio, nel caso di due cascate identiche, la pendenza della risposta in frequenza in ciascuna non deve essere superiore a 0,84 (0,842 = 0,7), nel caso di tre - non superiore a 0,89. A volte, soprattutto negli amplificatori video, vengono utilizzati dei “piccoli trucchi”: la fase preliminare, in cui sia le capacità interelettrodiche che l'oscillazione della tensione di uscita sono minori, è progettata a banda larga, con un aumento della risposta in frequenza alle alte frequenze, compensando la diminuzione della risposta in frequenza nello stadio di uscita.

La catena descritta (vedi Fig. 28, a) è detta filtro passa-basso quando si considerano le sue caratteristiche di frequenza, ed è anche detta integrativa quando si considera il passaggio di un segnale ad impulso. Lasciare agire una caduta di tensione con fronte corto all'ingresso della catena (Fig. 30). La tensione di uscita non aumenterà immediatamente, poiché il condensatore ha bisogno di tempo per caricarsi con la corrente limitata dal resistore R.

Solo nel primo istante dopo l'impatto della differenza la corrente sarà pari a UBX/R, poi diminuirà all'aumentare della tensione ai capi del condensatore. Creando un'equazione differenziale per la tensione di uscita e risolvendola, possiamo stabilirlo

dove e è la base dei logaritmi naturali. Durante il tempo τ = RC, la tensione di uscita aumenta fino a circa 0,63 del valore di ingresso e poi si avvicina asintoticamente ad esso. Pertanto, la catena di integrazione "travolge" i bordi ripidi del segnale, il che, tra l'altro, spiega la diminuzione della chiarezza dell'immagine televisiva.

Passiamo ai filtri passa-alto (HPF), il più semplice dei quali (differenziazione della catena RC) è mostrato in Fig. 31, a. Il coefficiente di trasmissione è ora espresso come segue:

La risposta in frequenza della catena è mostrata in Fig. 31, b. La formula per la frequenza di taglio rimane la stessa. Anche la risposta di fase è la stessa, ma il segno di φ cambia: la fase del segnale di uscita è in anticipo rispetto alla fase del segnale di ingresso. È vicino a 90° alle frequenze più basse e si avvicina allo zero alle alte frequenze (è sufficiente il grafico in Fig. 28c per spostarsi di 90° lungo l'asse φ). In realtà, tutte le espressioni per il filtro passa-alto si ottengono dalle formule per il filtro passa-basso sostituendo la frequenza generalizzata x con -1/x', che viene molto spesso utilizzata quando si calcolano i filtri.

La risposta all'impulso della catena è mostrata in Fig. 32. È, per così dire, l'inverso del precedente: la tensione di uscita aumenta bruscamente, ma poi diminuisce secondo una legge esponenziale secondo la vista: in un tempo pari alla costante di tempo della catena t, essa diminuisce a 0,37 dell'input, nell'intervallo successivo t - di nuovo a 0,37 e così via (a proposito, questa è una buona regola per tracciare esponenziali - per ogni divisione orizzontale, la coordinata verticale della curva dovrebbe aumentare o diminuire del stessa percentuale).

Quasi ogni catena RC che separa gli stadi è un filtro passa-alto descritto. Anche se non esiste una resistenza esplicita R, è la resistenza di ingresso dello stadio collegato dietro il condensatore di accoppiamento. Se si tiene conto anche del fatto che la capacità parassita all'uscita dello stadio forma un filtro passa-alto, diventa chiaro che qualsiasi stadio amplificatore limita la larghezza di banda delle frequenze trasmesse sia dal basso che dall'alto, ad es. è un filtro passa-banda . Per gli impulsi rettangolari che passano attraverso lo stadio amplificatore, i bordi ripidi vengono attenuati (azione del filtro passa basso) e la parte superiore cade (azione del filtro passa alto).

Per aumentare l'effetto di filtraggio dei circuiti RC, molti di essi sono collegati in serie uno dopo l'altro e, per evitare che le catene vengano deviate da quelle successive, sono separati da stadi di amplificazione intermedi su transistor. A volte, per lo stesso scopo, vengono scelte catene successive con maggiore resistenza. Tuttavia, in ogni caso, la risposta in frequenza dei filtri nella regione della frequenza di taglio risulta essere molto piatta.

I filtri attivi, in cui l'elemento amplificatore (transistor) stesso funge da elemento filtrante, possono correggere la situazione. Nella fig. 33 mostra uno schema di un filtro passa-basso attivo (Sallen-Key). L'elemento attivo in esso deve avere guadagno unitario e non invertire il segnale. Inoltre, sono richieste impedenze di ingresso elevate e basse impedenze di uscita. Questi requisiti sono soddisfatti da un inseguitore di transistor (sorgente) basato su transistor o (meglio) da un amplificatore operazionale, il cui ingresso invertente è collegato all'uscita. I resistori vengono solitamente selezionati con la stessa resistenza e la capacità del condensatore C2 è 2...2,5 volte inferiore alla capacità C1. Frequenza di taglio del filtro

Il filtro funziona così. A frequenze inferiori alla frequenza di taglio dei circuiti RC, la tensione di uscita ripete praticamente la tensione di ingresso e il condensatore C1 viene spento, poiché entrambe le sue piastre hanno lo stesso potenziale. Il segnale viene trasmesso senza attenuazione. All'aumentare della frequenza entra in gioco RC2 e la tensione di uscita diminuisce. Successivamente entra in funzione anche il circuito RC1, indebolendo ulteriormente il segnale di uscita. Di conseguenza, al di sopra della frequenza di taglio si forma un forte calo nella risposta in frequenza.

Modificando il rapporto tra le capacità C1 e C2, è possibile ottenere una risposta in frequenza uniforme e monotonicamente decrescente all'interno della banda passante (filtro Butterworth) e si può anche formare un certo aumento prima della frequenza di taglio (filtro Chebyshev).

Avendo formato un tale aumento (curva 1 in Fig. 34), è consigliabile aggiungere un altro collegamento passivo (curva 2), che compenserà l'aumento e renderà la pendenza della risposta in frequenza dietro la frequenza di taglio ancora più ripida (curva 3) - |K| diminuirà di 8 volte con un aumento di frequenza doppio. Il risultato è un filtro del terzo ordine con una pendenza di 18 dB per ottava. Come esempio in Fig. La Figura 35 mostra un diagramma di tale filtro passa-basso con una frequenza di taglio di 3 kHz. Il filtro può essere facilmente adattato ad altre frequenze modificando i valori di tutti i condensatori in proporzione inversa alla frequenza. Un filtro passa-alto con caratteristiche simili si ottiene scambiando resistori e condensatori e modificandone i valori di conseguenza.

Informazioni sull'ordine dei filtri: è determinato dal numero di elementi reattivi del filtro e la pendenza della pendenza della risposta in frequenza dipende dall'ordine. Pertanto, i collegamenti del primo ordine (Fig. 28,a e 31,a) indeboliscono il segnale di 2 volte con un doppio cambiamento di frequenza (6 dB/ott.), il filtro del secondo ordine (Fig. 33) - di 4 volte (12 dB/ott.) ott.), filtro del terzo ordine (Fig. 35) - 8 volte (18 dB/ott.).

Domanda per autotest. Alcuni amplificatori 20H di alta qualità (larghezza di banda 20 Hz...3 kHz) hanno un'impedenza di ingresso di 100 kOhm, la sorgente del segnale ha la stessa impedenza di uscita. Sono collegati tramite un cavo schermato con capacità lineare di 100 pF/m. La lunghezza del cavo è di 3,2 m Inoltre, all'ingresso dell'amplificatore è incluso un condensatore di separazione con una capacità di 0,01 μF. È stato fatto tutto correttamente, quale sarà la banda di frequenza effettiva e cosa si dovrebbe fare per correggere la situazione?

risposta. Disegniamo un circuito equivalente (Fig. 63) contenente una sorgente di segnale G1 con resistenza interna r, un cavo con capacità C1, un condensatore di isolamento C2 e la resistenza di ingresso dell'amplificatore R1.

Le alte frequenze vengono attenuate dalla capacità del cavo, parallelamente alla quale sono collegate la resistenza di ingresso R1 e la resistenza interna della sorgente del segnale r. Il condensatore di accoppiamento C2 alle alte frequenze ha una resistenza trascurabile e può essere ignorato. Collegando due resistori da 100 kOhm in parallelo si ottiene un valore totale di 50 kOhm. La capacità del cavo C1 è 100 pF/m x 3,2 m = 320 pF. Utilizzando la formula fc= 1/2πRC determiniamo la frequenza superiore della banda passante:

f B = 1/6,28 320 10 ^{all'12 ottobre}-50 10³ = 104 Hz = 10 kHz.

Per aumentarlo a 20 kHz, è necessario accorciare il cavo della metà, oppure selezionare un cavo con la metà della capacità lineare, oppure abbassare l'impedenza di uscita della sorgente del segnale a circa 30 kOhm in modo che la resistenza totale collegata in parallelo al cavo non è 50, ma 25 kOhm .

È preferibile quest'ultimo metodo poiché aumenta anche la tensione all'ingresso dell'amplificatore. Infatti, se le resistenze della sorgente del segnale e dell'amplificatore sono uguali, è la metà della fem della sorgente e quando la resistenza della sorgente del segnale viene ridotta a 30 kOhm, raggiungerà il 75% della fem della sorgente.

Per questo motivo all'uscita delle sorgenti di segnale che funzionano su cavi di collegamento lunghi vengono spesso installati catodo, emettitore o inseguitore di sorgente con bassa impedenza di uscita.

Calcoliamo ora la frequenza limite inferiore della banda passante. È determinata dal condensatore di isolamento C2 (0,01 μF) e dalla resistenza totale della sorgente del segnale e dell'ingresso dell'amplificatore collegati in serie (r+R1 = 100+100 = 200 kOhm). Utilizzando la stessa formula, calcoliamo la frequenza di taglio di questa catena RC (HPF): fH = 1/2πRC = 1/6,28 2 10⁵· 10^-8 = 80 Hz. Per abbassare la frequenza di taglio a 20 Hz è necessario aumentare la capacità del condensatore di accoppiamento almeno 4 volte. Il valore di capacità standard più vicino è 0,047 µF.

Se, in conformità con la raccomandazione di cui sopra, la resistenza di uscita della sorgente del segnale r viene ridotta a 30 kOhm, la resistenza totale della catena del filtro passa-alto sarà r + R1 = 30 + 100 = 130 kOhm e il valore richiesto la capacità del condensatore di accoppiamento sarà uguale a:

C \u1d 2 / 1πf FC \u6,28d 20 / 1,3 10 XNUMX-XNUMX⁵= 0,07 uF.

Autore: V.Polyakov, Mosca

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