Nozioni di base di matematica booleana. Enciclopedia dell'elettronica radio e dell'ingegneria elettrica

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L'analisi dei dispositivi combinatori e dei circuiti logici digitali viene eseguita più facilmente utilizzando la matematica booleana, che opera con due soli concetti: vero (logico 1) e falso (logico 0). Di conseguenza, le funzioni che visualizzano informazioni assumono in qualsiasi momento solo i valori 0 o 1. Tali funzioni sono chiamate funzioni logiche. Le funzioni logiche Y di più variabili (X0, X1, ..., Xn-1) determinano la natura delle operazioni logiche, per cui la variabile Y viene assegnata a un insieme di variabili di ingresso

Y=f(X0, X1, ..., Xn-1).

La funzione di trasformazione è più chiaramente caratterizzata da una tabella, nelle cui righe ogni combinazione di variabili di input X corrisponde al valore della variabile Y. Si chiama tavola di verità.

Le principali funzioni logiche sono la moltiplicazione logica (congiunzione), l'addizione logica (disgiunzione) e la negazione logica (inversione). Nella moltiplicazione logica, le variabili di input (due o più) sono collegate da un'unione AND. Questa operazione è indicata da /\ o dal segno di moltiplicazione (*). La funzione Y1=X1*X2 assume il valore di 1 logico solo se tutte le variabili di input sono uguali a 1. Se almeno una variabile è uguale a 0, la funzione di uscita è uguale a 0 (tabella 1).

In aggiunta logica, due o più istruzioni sono collegate dall'unione OR (OR). Questa operazione è indicata dal simbolo \/ o dal segno di addizione (+) La tabella di verità per la disgiunzione si presenta così.

L'affermazione (X1 + X2) è vera se almeno una delle affermazioni in essa contenute è vera.

Con la negazione logica della funzione NOT, il valore della funzione di uscita è opposto alla variabile di ingresso (Tabella 3). Questa operazione è indicata con X (leggi "NON X").

Congiunzione, disgiunzione e inversione possono essere utilizzate per esprimere qualsiasi altra operazione più complessa sulle affermazioni. Pertanto il sistema di funzioni Y1=Х1*Х2, Y2=Х1+Х2 e Y3=-Х ha completezza funzionale. Ad esempio, consideriamo diverse funzioni implementate utilizzando elementi della tecnologia informatica. L'equivalenza (o equivalente) è la funzione Y di due argomenti X1 e X2, che assume valore=1 quando X1=X2=1 o quando X1=X2=0. Per valori diversi degli argomenti X1≠X2, il valore della funzione Y=0. Si può dimostrare che la funzione Y ha la forma Y=X1*X2+(-X1)*(-X2), che viene confermata sostituendo i valori degli argomenti corrispondenti nell'espressione. La disequivalenza è la funzione Y di due argomenti X1 e X2, che assume il valore 1 quando X1≠X2 e il valore 0 quando X1=X2=0 oppure. quando X1=X2=1. In questo caso avremo Y=X1*X2+X1*X2. L'operazione di disparità è più spesso chiamata sommatoria modulo 2 ed è indicata con Y=X1(+)X2. Esistono anche sistemi funzionalmente completi costituiti da una sola funzione. Tra queste, in particolare, rientrano le funzioni AND-NOT (Y= -(X1*X2)) e NOR-NOR (Y=-(X1+X2)), ampiamente utilizzate nella modellazione di dispositivi digitali. Ecco una tabella di verità per le AND-NOT e OR-NOT di due variabili X1 e X2.

La matematica booleana consente di trasformare formule che descrivono affermazioni complesse per semplificarle. Questo aiuta alla fine a determinare la struttura ottimale di un particolare dispositivo digitale che implementa qualsiasi funzione complessa. Sotto la struttura ottimale, è consuetudine comprendere la costruzione di un dispositivo in cui il numero di elementi inclusi nella sua composizione è minimo.

Autore: -=GiG=-, gig@sibmail; Pubblicazione: cxem.net

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